数学的定义及其特征
症结词：数学教育、纯洁数学、利用数学
起源：徐利治《数学办法论选讲》
作者简介
徐利治
徐利治（1920年9月23日—2019年3月11日），是海内外有名的数学家、教育家。出身于江苏省张家港市，1945年留在西南结合年夜学任华罗庚助教，1946年参加中国共产党。1949年赴英国阿伯丁年夜学和剑桥年夜学拜访学习各一年，1951年担任清华年夜学数学系副传授，兼任北京师范年夜学数学系副传授，1952年到长春组建东北人平易近年夜学（现吉林年夜学）数学系，1981年担任年夜连工学院（现年夜连理工年夜学）利用数学研讨所首任所长；是《切近亲近论及其利用》主编、《数学研讨与评论》声誉主编、《高等黉舍计算数学学报》声誉主编，以及德国《数学文摘》杂志评论员年夜连理工年夜学传授。致力于阐发数学范畴的研讨，在多维渐近积分，无界函数切近亲近以及高维界限型求积法等方面获浩繁结果，并在我国提倡数学办法论的研讨。
《中国年夜百科全书-数学卷》开宗明义写道：“数学是研讨实际天下中数目关系和空间情势的，简单地说，是研讨数和形的科学。”这是一个权势巨子的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的归纳综合。
对付这个界说，人们有各类分歧的懂得、弥补、改动。例如，钱学森在《关于思维科学》一书中，把数学和哲学并列，以为数学是在社会科学和天然科学之上的一门学问。有人对数学起源于实际天下有分歧的见地。好比，“哥德巴赫料想”起源于实际天下的哪一部门，很难说得清晰。记得1958年，武汉年夜学的齐平易近友老师写过《竹子的哲学》一文，文中以为数学的生长像竹子，根在年夜地，然后本身一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。多少年之后，竹子着花，结成种子，重回年夜地。这一比方，多么贴切。但在其时，它是作为否决数学起源于实践的“不和教材”颁发的。更多的数学家以为，当代数学的成长，已经超越“数”和“形”的规模，该当包含布局、领域、模子等更广的工具。不外，只要把数和形作广义的懂得，年夜概也就可以了。
图1 竹
关于数学的特色，一样平常都沿用苏联A.D.亚历山年夜洛夫的“三性”提法：抽象性、严谨性、普遍利用性。这一提法有合理的身分，但发生的现实后果却在很年夜水平上被异化了。一提数学，先便是抽象，使数学阔别人们的现实履历和日常生涯，吓人一跳。实在，物理学、化学也抽象，力、电压、当量等也不是看得见、摸得着的。数学的抽象在于它的工具：情势化的思惟资料。而这些资料仍旧可以溯源于履历天下，不必过于强调其抽象之难。至于严谨性，和逻辑接洽在一路，使数学成为一门相对准确的科学。然则，过火地强调严谨性，把数学等同于逻辑，把活泼生动的数学思惟吞没在情势演绎的海洋里，其实是曲解了数学的本色。至于“普遍利用性"大众，乃是抽象性的推论，险些没有新的阐述。由于数学的抽象，固然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是随处都可以用数学，数学的普遍利用性也就成立了。如许的阐述引申到中学数学教育上，就是绝口不提数学的利用。特级西席的论文中，绝少涉及利用。数学高考，相称永劫间不涉及利用题，学生视利用题为畏途，连西席也感到头痛。到了这一步，数学除了“思维的体操”之外，再也没有什么可谈的了。数学教育酿成解考题教育，数学教授教养的目标是经由过程测验，数学西席成相识题机械，解数学难题成了数学杂技。只要躲在抽象性、严谨性的标语下，什么接洽现实、数学为国度建设服务、造就用数学阐发息争决现实问题的才能，便一切不必干预干与了。
图2 数学的“三性”提法
问题出在“数学观”已经跟不上期间要求。
历久以来，数学的寄义只包含“纯洁数学公众。年夜百科全书中的数学界说，亚历山年夜洛夫的“三性”都是从纯洁数学的意义上来说的。实在，本日的数学，已经不仅限于纯洁数学，而是已经渗入渗出到社会生涯的每个角落，成为可以或许立刻转化为临盆力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支撑。电视卫星的姿势和定点节制必需用数学计算得分绝不差，数字电视主要寄托信息紧缩的数学技术，头顶咆哮而过的喷气式飞机的制作和飞行，是用数学办法加以计算和节制的。与人的康健慎密相关的CT扫描，其根本原理竟是一条数学定理逐一拉东逆变换公式。信息期间的国度秘密恰是经由过程数学暗码理论才得以在传输进程中坚持平安。庞年夜的天下经济的将来，正在由成千上万个未知数的微分方程组进行模拟和猜测。从北京年夜学数学系卒业的王选院士用数学技术创建了享誉国际的朴直团体。当我们在纵情享受数学文明的时刻，我们该当若何熟悉当今的数学呢?
图3 纯洁数学与利用数学
中国的数学观多数限于纯洁数学，有其汗青缘故原由。1949年以前的旧中国工业凋敝，科学后进，没有利用数学可言，其时的有名数学家在艰巨的前提下开展数学研讨，没有经费，只能从费钱很少的纯洁数学动手，例如研讨数论、函数论、微分几何。他们的成绩是国度的自满，体现了中华平易近族的发明精力，然则也弗成避免地带有期间的局限性。1949年以后，华罗庚、苏步青等都先后涉及利用数学，并且身材力行，力图有所作为。惋惜的是，文化年夜革命时期的骚乱搅散了人的思惟。否认数学根基研讨，批判纯洁数学研讨事情，走向极度，把搞不搞利用数学当成“打人的棍子”，危害了很多人。1976年以后，拨乱横竖，有时难免“进一步，退两步”。
在一些处所，利用数学反倒成了“适用主义”的替罪羊。在中学数学圈子里，“十年骚乱”时代搞工业根基、农业根基，数学课成了划线、识图，真的是适用主义的数学教育。80年月将它推倒重来，天经地义。惋惜的是，真正意义上的数学利用却垂垂从中学数学教授教养中消散了。进入了90年月，国度建设进入了繁华时期，科教兴国已成为国策。在如许的时刻，从新审视数学的代价，把利用数学提到战略位置来斟酌，形成新的数学观，便是十分需要的了。当然，轻忽数学利用的倾向也具有天下性，并非中国所特有，只是中国因为汗青情况特殊，情形更为严重罢了。